► ผลงาน

ผลงานที่รอดมา

คำกล่าวอันโด่งดังของอาร์คิมิดีสเกี่ยวกับคาน : หาที่ให้ฉันยืนสิ แล้วฉันจะเคลื่อนโลกให้

• ว่าด้วยดุลยภาพของระนาบ (On the Equilibrium of Planes) หรือ จุดศูนย์ถ่วงของระนาบ (Gravity of Planes)

เขียนไว้สองเล่ม เล่มแรกมี 15 บทกับสัจพจน์ 7 ข้อ ส่วนเล่มที่ 2 มี 10 บท งานเขียนชิ้นนี้ อาร์คิมิดีสกล่าวถึงกฎของคาน โดยระบุว่า "น้ำหนักบนคานจะอยู่ในสมดุลที่ระยะห่างจากจุดหมุนเป็นอัตราส่วนผกผันกับน้ำหนัก"

อาร์คิมิดีสใช้หลักการนี้ในการหาทางคำนวณพื้นที่และจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุรูปทรงต่าง ๆ กัน ซึ่งรวมถึงทรงสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน และพาราโบลา^[49]

• ว่าด้วยการวัดวงกลม (On Measurement of the Circle)

เป็นงานสั้น ๆ ประกอบด้วย 3 บท เขียนในรูปแบบการสนทนากับโดซิเธอุสแห่งเพลูเซียม ผู้เป็นศิษย์ของโคนอนแห่งซามอส ในบทที่ 2 อาร์คิมิดีสแสดงให้เห็นว่า ค่า π (pi) มีค่ามากกว่า 22371 แต่น้อยกว่า 227 ตัวเลขหลังนี้เป็นตัวเลขที่ถูกนำมาใช้เป็นค่าประมาณการของ π มาตลอดยุคกลาง และยังคงเป็นที่นิยมใช้กันอยู่ในปัจจุบันเมื่อต้องการคำนวณอย่างคร่าว ๆ

• ว่าด้วยเส้นเกลียว (On Spirals)

งานชิ้นนี้มี 28 บท และยังคงกล่าวถึงโดซิธีอุส ตำรานี้กล่าวถึงสิ่งที่ปัจจุบันเรียกชื่อว่า วงก้นหอยอาร์คิมิดีส (Archimedean spiral) นั่นคือ โลคัสของจุดที่เคลื่อนที่ (ด้วยความเร็วคงที่) ไปตามแนวเส้นตรง (ที่กำลังหมุนรอบตัวเองอยู่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่) ณ จุดใด ๆ ซึ่งแสดงเป็นค่าคู่อันดับเชิงมุมได้ว่า (r, θ) สามารถแสดงเป็นสมการได้ดังนี้

โดย a และ b เป็นจำนวนจริง นี่เป็นตัวอย่างยุคแรก ๆ ของเส้นโค้งทางกล (เส้นโค้งที่เกิดจากจุดเคลื่อนที่) ในความเห็นของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก

• ว่าด้วยทรงกลมและทรงกระบอก (On the Sphere and the Cylinder)

เขียนไว้สองเล่ม โดยเป็นการเขียนถึงโดซิธีอุส อาร์คิมิดีสเขียนถึงผลงานซึ่งเขาภาคภูมิใจมากที่สุด นั่นคือความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมกับทรงกระบอกที่มีความสูงและเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน ปริมาตรของทรงกลมคือ 43πr³ ส่วนปริมาตรของทรงกระบอกเท่ากับ 2πr³ พื้นที่ผิวของทรงกลมคือ 4πr² ส่วนพื้นที่ผิวของทรงกระบอกเท่ากับ 6πr² (รวมพื้นที่ฐานทั้งสองด้าน) โดยที่ r คือรัศมีของทรงกลมและทรงกระบอกนั้น ทรงกลมจะมีปริมาณเป็น 2/3 เท่าของปริมาตรทรงกระบอก ในขณะเดียวกันก็มีพื้นที่ผิวเป็น 2/3 เท่าของพื้นที่ผิวทรงกระบอกด้วย มีรูปปั้นทรงกลมและทรงกระบอกติดตั้งอยู่ในหลุมศพของอาร์คิมิดีสตามคำขอของเขาเอง

• ว่าด้วยทรงกรวย และทรงกลม (On Connoids and Spheroids)

เป็นงานประกอบด้วย 32 บทเขียนถึงโดซิธีอุส อาร์คิมิดีสคำนวณพื้นที่และปริมาตรของเสี้ยวทรงตัน ที่เกิดจากการหมุนภาคตัดกรวย (วงกลม วงรี พาราโบลา หรือ ไฮเพอร์โบลา) รอบแกนของตัวเอง

• ว่าด้วยเทหวัตถุลอย (On Floating Bodies)

ในช่วงแรกของตำรานี้ อาร์คิมิดีสกล่าวถึงกฎสมดุลของของไหล (หรือสถิตยศาสตร์ของไหล) และพิสูจน์ว่าน้ำจะคงรูปทรงเป็นทรงกลมรอบ ๆ จุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง นี่อาจเป็นความพยายามอธิบายทฤษฎีของนักดาราศาสตร์ชาวกรีกร่วมสมัยกับเขา เช่น เอราทอสเทนีส ที่บอกว่าโลกมีรูปร่างกลม ของไหลในความหมายของอาร์คิมิดีสนั้นไม่ได้มีแรงโน้มถ่วงในตัวเอง เนื่องจากเขาตั้งสมมุติฐานว่ามีจุดอยู่จุดหนึ่งซึ่งทุกสิ่งตกลงไปหาเพื่อทำให้เกิดรูปทรงแบบทรงกลม

ในช่วงที่สอง เขาคำนวณตำแหน่งสมดุลของภาคตัดของรูปทรงพาราโบลา ซึ่งดูเหมือนเป็นภาพอุดมคติของรูปทรงของท้องเรือ ภาคตัดของเขาบางส่วนจะมีฐานอยู่ใต้น้ำ และยอดอยู่เหนือน้ำ ในลักษณะเดียวกันกับการลอยตัวของภูเขาน้ำแข็ง หลักการของอาร์คิมิดีสว่าด้วยการลอยตัว ถูกระบุเอาไว้ในงานเขียนชิ้นนี้ โดยระบุว่า

วัตถุใด ๆ ที่จมอยู่ในของไหลไม่ว่าทั้งหมดหรือบางส่วน จะประสบกับแรงต้านที่เท่ากันกับน้ำหนักของของไหลที่ถูกแทนที่ แต่เป็นไปในทิศทางตรงกันข้าม

• เสี้ยวของพาราโบลา (The Quadrature of the Parabola)

เป็นงานเขียน 24 บทเขียนถึงโดซิธีอุส อาร์คิมิดีสใช้ระเบียบวิธี 2 ชนิดพิสูจน์ว่า พื้นที่ของส่วนใด ๆ ของพาราโบลากับเส้นตรง จะเท่ากับ 4/3 ของพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีเส้นฐานและความสูงเท่ากับส่วนเสี้ยวนั้น เขาสามารถพิสูจน์ได้สำเร็จโดยการคำนวณค่าอนุกรมเรขาคณิตที่มีผลรวมถึงอนันต์ด้วยอัตราส่วน 14

• (O) stomachion

เป็นงานปริศนาชิ้นส่วน คล้ายคลึงกับแทนแกรม มีตำราที่เอ่ยถึงงานลักษณะนี้ที่สมบูรณ์ยิ่งกว่า ในสมุดบันทึกของอาร์คิมิดีส (Archimedes palimpsest) อาร์คิมิดีสคำนวณพื้นที่ของชิ้นส่วน 14 ชิ้นที่สามารถประกอบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส งานวิจัยของ ดร.เรวีล เนตซ์ แห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดที่เผยแพร่ในปี ค.ศ. 2003 โต้แย้งว่า อาร์คิมิดีสพยายามจะบ่งบอกจำนวนวิธีที่ชิ้นส่วนเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ ดร.เนตซ์ คำนวณว่าการประกอบชิ้นส่วนเหล่านี้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถทำได้ 17,152 วิธี หากไม่นับการหมุนรูปและการสะท้อนรูปแล้วจะได้จำนวนวิธีจัดเรียงทั้งสิ้น 536 วิธี ปริศนานี้เป็นตัวอย่างการแก้ปัญหาในยุคเริ่มแรกของคณิตศาสตร์เชิงการจัด

ต้นกำเนิดของชื่อดั้งเดิมของปริศนาลักษณะนี้ยังไม่ชัดเจนนัก บ้างก็ว่ามันมาจากคำภาษากรีกโบราณเกี่ยวกับคอหรือคอหอย คือ stomachos (στόμαχος)  เอาโซเนียสเรียกปริศนาชนิดนี้ว่าOstomachion ซึ่งเป็นคำประสมในภาษากรีก มาจากรากศัพท์ ὀστέον (osteon, กระดูก) และ μάχη (machē – ต่อสู้) นอกจากนี้ ปริศนานี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อว่า กระเป๋าของอาร์คิมิดีส หรือ กล่องของอาร์คิมิดีส

• ปัญหาเรื่องวัวของอาร์คิมิดีส (Archimedes' cattle problem)

ก็อตต์โฮลด์ อีฟราม เลสซิง เป็นผู้ค้นพบงานนี้ในต้นฉบับลายมือภาษากรีก ประกอบด้วยบทกวี 44 บรรทัด ที่ห้องสมุดเฮอร์ซอก ออกัสต์ ในเมือง Wolfenbüttel ประเทศเยอรมัน เมื่อปี ค.ศ. 1773 เป็นงานเขียนถึงเอราทอสเทนีสและนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ในอเล็กซานเดรีย อาร์คิมิดีสท้าทายคนเหล่านั้นให้นับจำนวนวัวที่อยู่ในคอกสัตว์ของพระอาทิตย์ โดยแก้ปัญหาจำนวนจากสมการของไดโอแฟนทัส มีปัญหาลักษณะนี้ในรูปแบบที่ยากกว่าซึ่งต้องหาคำตอบออกมาเป็นเลขยกกำลังสอง ผู้แก้ปัญหานี้ได้เป็นคนแรกคือ เอ. อัมทอร์ ในปี ค.ศ. 1880 คำตอบที่ได้เป็นจำนวนขนาดใหญ่มาก คือประมาณ 7.760271 x 10²⁰⁶⁵⁴⁴

• นักคำนวณทราย (The Sand-Rekoner)

เป็นตำราสั้น ๆ อธิบายระบบความคิดเรื่องจำนวนของกรีก อาร์คิมิดีสนับจำนวนของเม็ดทรายที่จะถมจนเต็มจักรวาล ในงานเขียนชิ้นนี้ยังกล่าวถึงระบบสุริยะตามทฤษฎีดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางจักรวาล ซึ่งเสนอโดยอริสทาร์คัสแห่งซามอส รวมถึงแนวคิดร่วมสมัยอื่น ๆ เกี่ยวกับขนาดของโลก และระยะห่างระหว่างวัตถุท้องฟ้าต่าง ๆ อาร์คิมิดีสใช้ระบบจำนวนที่สร้างจากการยกกำลังของมีเรียด และสรุปว่าจำนวนเม็ดทรายที่จะถมจักรวาลได้คือ 8 x 10⁶³ ตามระบบจำนวนยุคใหม่ ในจดหมายนำเรื่องของงานเขียนนี้ ระบุไว้ว่าบิดาของอาร์คิมิดีสเป็นนักดาราศาสตร์ ชื่อว่า ฟิเดียส นักคำนวณทราย หรือ Psammites เป็นงานเขียนที่เหลือรอดเพียงชิ้นเดียวที่อาร์คิมิดีสอภิปรายถึงมุมมองด้านดาราศาสตร์ของเขา

• ระเบียบวิธีเกี่ยวกับทฤษฎีบทกลศาสตร์ (The Method of Mechanical Theorems)

แต่เดิมเชื่อกันว่าตำรานี้สูญหายไปแล้ว จนกระทั่งมีการค้นพบสมุดบันทึกของอาร์คิมิดีสในปี ค.ศ. 1906 ในงานเขียนนี้ อาร์คิมิดีสใช้แนวคิดกณิกนันต์ แสดงให้เห็นว่า การแตกรูปภาพหนึ่ง ๆ ออกเป็นชิ้นส่วนเล็ก ๆ จำนวนนับไม่ถ้วน สามารถใช้หาพื้นที่หรือปริมาตรได้อย่างไร บางทีอาร์คิมิดีสอาจเห็นว่าวิธีการนี้ยังไม่เคร่งครัดพอ เขาจึงใช้ระเบียบวิธีเกษียณ (method of exhaustion) มาช่วยในการหาคำตอบ งานเขียนนี้อยู่ในรูปแบบของจดหมายที่ส่งถึงเอราทอสเทนีสแห่งอเล็กซานเดรีย เช่นเดียวกับ ปัญหาเรื่องวัวของอาร์คิมิดีส

ผลงานที่สูญหาย

ผลงานเรื่อง Book of Lemmas หรือ Liber Assumptorum เป็นหนึ่งในตำราของอาร์คิมิดีสเกี่ยวกับสัดส่วน 15 ประการของธรรมชาติของวงกลม สำเนาชุดที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่รู้จักกันเขียนเอาไว้ในภาษาอารบิก นักวิชาการ ที.แอล.ฮีธ และ มาร์แชล คลาเกตต์ โต้แย้งว่ารูปแบบในปัจจุบันนี้ไม่น่าจะเขียนขึ้นโดยอาร์คิมิดีส เพราะมีการอ้างถึงอาร์คิมิดีสเองด้วย จึงน่าจะเป็นงานดัดแปลงที่เกิดจากผู้เขียนคนอื่น Lemmas อาจเป็นงานที่สร้างขึ้นจากผลงานก่อนหน้านี้ของอาร์คิมิดีสซึ่งปัจจุบันสูญหายไปแล้ว

นอกจากนี้ยังมีการกล่าวอ้างว่า อาร์คิมิดีสรู้จักสมการของเฮรอนซึ่งใช้ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมจากความยาวของด้านทั้งสาม^c อย่างไรก็ดี หลักฐานอ้างอิงที่เชื่อถือได้ชิ้นแรกเกี่ยวกับสมการนี้ก็เป็นของเฮรอนแห่งอเล็กซานเดรียในคริสต์ศตวรรษที่ 1